微积分学示例

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

解题步骤 1.2

化简 $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3} + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

解题步骤 1.2.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

解题步骤 1.2.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

解题步骤 1.2.2

从根式下提出各项。

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

解题步骤 1.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = x \sqrt{x + 3}$

解题步骤 1.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - x \sqrt{x + 3}$

解题步骤 1.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y'$

解题步骤 3.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.3.1

求微分。

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解题步骤 3.3.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 3.3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

解题步骤 3.3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

解题步骤 3.5

将 $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

解题步骤 3.5.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y, y, 1$

解题步骤 4.1.2

由于 $2 y, y, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $2, 1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $y^{1}, y^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 4.1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 4.1.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 4.1.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 4.1.6

$2, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2$

解题步骤 4.1.7

$y^{1}$ 的因式是 $y$ 本身。

$y^{1} = y$

$y$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 4.1.8

$y^{1}, y^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y$

解题步骤 4.1.9

$2 y, y, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $2$ 乘以变量部分。

$2 y$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 中的每一项乘以 $2 y$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 中的每一项乘以 $2 y$ 。

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

约去公因数。

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.5

乘以 $2 \frac{3 x}{y}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{3 x}{y}$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.6.1

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.2.1.6.2

重写表达式。

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

乘以 $0 (2 y)$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 4.3

求解方程。

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解题步骤 4.3.1

从 $3 x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 6 x = 0$

解题步骤 4.3.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

解题步骤 4.3.1.3

从 $3 x (x) + 3 x (2)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x + 2) = 0$

解题步骤 4.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.3.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.3.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.3.5

最终解为使 $3 x (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

解题步骤 6.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.2.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2) = - 2$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

解题步骤 7.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 2) = 2$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

解题步骤 9

微积分学 示例

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