微积分学示例

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ 。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.6

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.7

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

解题步骤 1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

解题步骤 1.2.11.2

将 $x^{2} - 8 x + 7$ 乘以 $1$ 。

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4

合并项。

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解题步骤 1.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.6

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.7

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.8

从 $- 2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

解题步骤 1.3.4.10

从 $- 10 x$ 中减去 $8 x$ 。

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

解题步骤 1.3.4.11

将 $8$ 和 $7$ 相加。

$3 x^{2} - 18 x + 15$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $3 x^{2} - 18 x + 15$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

解题步骤 2.1.2

因数。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

最终解为使 $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 1$

解题步骤 3

求在 $x = 5$ 处的原函数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 8$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

解题步骤 3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

从 $25$ 中减去 $40$ 。

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 15$ 和 $7$ 相加。

$f (5) = 4 \cdot - 8$

解题步骤 3.2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f (5) = - 32$

解题步骤 3.2.4

最终答案为 $- 32$ 。

$- 32$

解题步骤 4

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

解题步骤 4.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

解题步骤 4.2.3

化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$f (1) = 0 \cdot 0$

解题步骤 4.2.3.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

函数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 上的水平切线是 $y = - 32, y = 0$ 。

$y = - 32, y = 0$

解题步骤 6

微积分学 示例

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