微积分学示例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

解题步骤 1.2

将 $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

用 $36$ 除以 $9$ 。

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

解题步骤 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4

化简 $\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

解题步骤 1.4.1.2

将 $\frac{4 x^{2}}{9}$ 重写为 ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2$ 和 $b = \frac{2 x}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.5

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.6

从 $2 \cdot 3 + 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.6.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.6.3

从 $2 (3) + 2 (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.7

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.8

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

解题步骤 1.4.9

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

解题步骤 1.4.10

从 $2 \cdot 3 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.4.10.1

从 $2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

解题步骤 1.4.10.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

解题步骤 1.4.10.3

从 $2 (3) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

解题步骤 1.4.11

将 $\frac{2 (3 + x)}{3}$ 乘以 $\frac{2 (3 - x)}{3}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 1.4.12

乘。

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解题步骤 1.4.12.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

解题步骤 1.4.12.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

解题步骤 1.4.13

将 $\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ 重写为 ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ 。

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解题步骤 1.4.13.1

从 $4 (3 + x) (3 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

解题步骤 1.4.13.2

从 $9$ 中因式分解出完全幂数 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 1.4.13.3

重新整理分数 $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

解题步骤 1.4.14

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

解题步骤 1.4.15

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ 。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

解题步骤 1.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $4 x^{2} + 9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$8 x + 9 (2 y y')$

解题步骤 3.2.3.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$8 x + 18 y y'$

解题步骤 3.2.4

重新排序项。

$18 y y' + 8 x$

解题步骤 3.3

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$18 y y' + 8 x = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $8 x$ 。

$18 y y' = - 8 x$

解题步骤 3.5.2

将 $18 y y' = - 8 x$ 中的每一项除以 $18 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $18 y y' = - 8 x$ 中的每一项都除以 $18 y$ 。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $18$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $- 8$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $18 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 4.2

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

解题步骤 5.2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (0) = \frac{6}{3}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $6$ 除以 $3$ 。

$f (0) = 2$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

解题步骤 6.2.2.3

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

解题步骤 6.2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (0) = - \frac{6}{3}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $6$ 除以 $3$ 。

$f (0) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 6.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (0) = - 2$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

解题步骤 8

微积分学 示例

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