微积分学示例

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.4.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 1.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 2.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 2.5.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.5.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 2.5.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.5.2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.5.2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 2.5.2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 2.5.2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.5.2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

解题步骤 3.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{2} + π$ 处的原函数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.2

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.7

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 4.2.1.8

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 4.2.1.9

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.2.1.10

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

解题步骤 4.2.1.11

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.11.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

解题步骤 4.2.1.11.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 4.2.1.12

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

解题步骤 4.2.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.1.14

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 4.2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 的水平切线为 $y = 3, y = - 1$ 。

$y = 3, y = - 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

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