微积分学示例

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.5

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.7

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (2 x - 2 + 0)$

解题步骤 1.11

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$2 (2 x - 2)$

解题步骤 1.12

化简。

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解题步骤 1.12.1

运用分配律。

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.12.2

合并项。

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解题步骤 1.12.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 2 \cdot - 2$

解题步骤 1.12.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 x - 4$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$4 x = 4$

解题步骤 2.2

将 $4 x = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $4 x = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{4}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$x = 1$

解题步骤 3

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

解题步骤 3.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (1) = 2 \cdot 0$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 3.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

函数 $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ 的水平切线为 $y = 0$ 。

$y = 0$

解题步骤 5

微积分学 示例

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