微积分学示例

$f (x) = x e^{- x}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.5

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$- e^{- x} x + e^{- x}$

解题步骤 1.4.2

将 $- e^{- x} x + e^{- x}$ 中的因式重新排序。

$- x e^{- x} + e^{- x}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- x e^{- x} + e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $- x e^{- x}$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

解题步骤 2.1.2

乘以 $1$ 。

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{- x}$ 。

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.3.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.4

将 $- x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $- x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $- x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

最终解为使 $e^{- x} (- x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1$

解题步骤 3

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = x e^{- x}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

将 $e^{- (1)}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- (1)}$

解题步骤 3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = e^{- 1}$

解题步骤 3.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (1) = \frac{1}{e}$

解题步骤 3.2.4

最终答案为 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 4

函数 $f (x) = x e^{- x}$ 的水平切线为 $y = \frac{1}{e}$ 。

$y = \frac{1}{e}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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