微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 6 x$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 6$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $6$ 。

$3 x^{2} = 6$

解题步骤 2.2

将 $3 x^{2} = 6$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $3 x^{2} = 6$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{6}{3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $6$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3

求在 $x = \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.2

从 $2 \sqrt{2}$ 中减去 $6 \sqrt{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $- 4 \sqrt{2}$ 。

$- 4 \sqrt{2}$

解题步骤 4

求在 $x = - \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

解题步骤 4.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2 \sqrt{2}$ 和 $6 \sqrt{2}$ 相加。

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $4 \sqrt{2}$ 。

$4 \sqrt{2}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{3} - 6 x$ 上的水平切线是 $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ 。

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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