微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$- x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 3

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = - 1$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简分母。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 上的水平切线是 $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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