微积分学示例

$y = 2 x^{2} + 4 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 2 x^{2} + 4 x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 4$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x = - 4$

解题步骤 3.2

将 $4 x = - 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4 x = - 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$x = - 1$

解题步骤 4

求在 $x = - 1$ 处的原函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 4 (- 1)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (- 1) = 2 + 4 (- 1)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 2 - 4$

解题步骤 4.2.2

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$f (- 1) = - 2$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 x$ 的水平切线为 $y = - 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 6

微积分学 示例

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