微积分学示例

$y = 7 x - x^{2}$

解题步骤 1

将 $7 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 7 x$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - x^{2} + 7 x$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- x^{2} + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x + 7 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x + 7$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x + 7 = 0$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- 2 x = - 7$

解题步骤 4.2

将 $- 2 x = - 7$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 2 x = - 7$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 7}{- 2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{7}{2}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{7}{2}$ 处的原函数 $f (x) = - x^{2} + 7 x$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{7}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - {(\frac{7}{2})}^{2} + 7 (\frac{7}{2})$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $\frac{7}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{7^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

解题步骤 5.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

解题步骤 5.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + 7 (\frac{7}{2})$

解题步骤 5.2.1.4

乘以 $7 (\frac{7}{2})$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

组合 $7$ 和 $\frac{7}{2}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{7 \cdot 7}{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2}$

解题步骤 5.2.2

要将 $\frac{49}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{49}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{4}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 49 \cdot 2}{4}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $49$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 98}{4}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $- 49$ 和 $98$ 相加。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $\frac{49}{4}$ 。

$\frac{49}{4}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = - x^{2} + 7 x$ 的水平切线为 $y = \frac{49}{4}$ 。

$y = \frac{49}{4}$

解题步骤 7

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