微积分学示例

$y = x + \cos (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x + \cos (x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$1 - \sin (x)$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $1 - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 3.2

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 3.6.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x + \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{π}{2} + 2 π$ 处的原函数 $f (x) = x + \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + 2 π$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

求公分母。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $2 π$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\frac{2 π}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{2 π}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

解题步骤 5.2.1.5

将 $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.1.6

将 $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.6

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.3.8

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $5 π$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $\frac{5 π}{2}$ 。

$\frac{5 π}{2}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x + \cos (x)$ 的水平切线为 $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ 。

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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