微积分学示例

$y = \sec (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \sec (x)$

解题步骤 2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\sec (x) \tan (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.2

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $\sec (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) = 0$

解题步骤 3.2.2

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $0$ 不在该值域内，所以无解。

无解

无解

解题步骤 3.3

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 3.3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 3.3.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 3.3.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.3.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

$π$

解题步骤 3.3.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.4

最终解为使 $\sec (x) \tan (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.5

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = π$ 处的原函数 $f (x) = \sec (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

$f (π) = \sec (π)$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正切在第二象限为负。

$f (π) = - \sec (0)$

解题步骤 4.2.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 1$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

$- 1$

$- 1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \sec (x)$ 的水平切线为 $y = x = π n, y = - 1$ 。

$y = x = π n, y = - 1$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$