微积分学示例

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.1

合并 $x + 1 - x - - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 3.2

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 时 $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ 无解，所以不存在水平切线。

找不到水平切线

解题步骤 5

微积分学 示例

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