微积分学示例

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{2} - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 1$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.2367329$

解题步骤 4

求在 $x = 0.2367329$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0.2367329$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0.2367329$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

解题步骤 4.2.1.2

对 $0.2367329$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0.05604246$ 。

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0.2367329$ 。

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0.00314075$ 和 $0.11208493$ 相加。

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

解题步骤 4.2.2.2

从 $0.11522569$ 中减去 $0.2367329$ 。

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 0.12150721$ 。

$- 0.12150721$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ 的水平切线为 $y = - 0.12150721$ 。

$y = - 0.12150721$

解题步骤 6

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