微积分学示例

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

解题步骤 2

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.1.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.1.4

将 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.2

要将 $- x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.3

组合 $- x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.5.1.1

从 $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.2.5.1.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.1.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.1.1.3

从 $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.1.1.4

从 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.2

将 $- 1$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.3.1

将 $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ 乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.2

合并。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.4

约去 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.4.2

重写表达式。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.7

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.8

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.3.8.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.8.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.8.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.9

化简 $x^{1} \cdot - 2$ 。

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.10

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.11

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.3.11.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.11.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.13.3.11.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.3.11.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.4

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.6

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.7

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.13.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ 的水平切线为 $y = \frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例