微积分学示例

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

对 $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

重新排序项。

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

从 $- \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.3

运用分配律。

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $2 \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.4.2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 2.4.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 2.4.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.5

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 2.5.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 2.5.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.5.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.6

最终解为使 $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.7

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

乘以 $2 (\frac{2 π}{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.6.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.1.6.2

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.1.6.3

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.1.7

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.2

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.2.3

合并分数。

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解题步骤 3.2.3.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

函数 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 的水平切线为 $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

小数形式：

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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