微积分学示例

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x + 2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$1 + 2 \cos (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + 2 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 2.2

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.6.2

合并分数。

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解题步骤 2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.3.1

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.1.3.2

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ 。

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{4 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 4.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ 。

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 上的水平切线是 $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ 。

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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