微积分学示例

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

解题步骤 2

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 14$ 。

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 9$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ 并且它们的和为 $b = - 28$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1

从 $- 28 x$ 中分解出因数 $- 28$ 。

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

解题步骤 3.1.1.2

把 $- 28$ 重写为 $- 1$ 加 $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

解题步骤 3.1.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

解题步骤 3.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

解题步骤 3.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

解题步骤 3.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

解题步骤 3.3

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 3.5

最终解为使 $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, 9$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{1}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{1}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.4

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.7

组合 $- 14$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.9

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.9.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

解题步骤 4.2.1.9.2

约去公因数。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

解题步骤 4.2.1.9.3

重写表达式。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

解题步骤 4.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{14}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

解题步骤 4.2.2.2

将 $\frac{14}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

解题步骤 4.2.2.3

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.6

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $- 14$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

解题步骤 4.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

从 $1$ 中减去 $42$ 。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $- 41$ 和 $81$ 相加。

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $\frac{40}{27}$ 。

$\frac{40}{27}$

解题步骤 5

求在 $x = 9$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

解题步骤 5.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 14$ 乘以 $81$ 。

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $729$ 中减去 $1134$ 。

$f (9) = - 405 + 81$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 405$ 和 $81$ 相加。

$f (9) = - 324$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 324$ 。

$- 324$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 上的水平切线是 $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ 。

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例