微积分学示例

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$ 无定义。

$x = - 3$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - 4 x - 7}{x + 3}$

解题步骤 5.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2}) - (4 x) - 7}{x + 3}$

解题步骤 5.1.3

从 $- (x^{2}) - (4 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 7}{x + 3}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)}{x + 3}$

解题步骤 5.1.5

从 $- (x^{2} + 4 x) - 1 (7)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

解题步骤 5.1.6

化简表达式。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- (x^{2} + 4 x + 7)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 4 x + 7)$ 。

$\frac{- 1 (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

解题步骤 5.1.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x + 3}$

解题步骤 5.2

展开 $- (x^{2} + 4 x + 7)$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $x^{2} + 4 x + 7$ 取反。

$\frac{- (x^{2} + 4 x + 7)}{x + 3}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

解题步骤 5.2.4

去掉圆括号。

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) - 1 \cdot 7}{x + 3}$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 1 \cdot 7}{x + 3}$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{2}$

$4 x$

$7$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x$
	$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					-	$x$	-	$3$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 3$ 中的所有符号

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x$	-	$1$
$x$	+	$3$	-	$x^{2}$	-	$4 x$	-	$7$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x$	-	$7$
					+	$x$	+	$3$
							-	$4$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$- x - 1 - \frac{4}{x + 3}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - x - 1$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - x - 1$

解题步骤 7

微积分学 示例

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