微积分学示例

$y = x + \sin (x y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x + \sin (x y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

解题步骤 3.3.2

重新排序项。

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简右边。

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解题步骤 5.1.1

将 $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ 中的因式重新排序。

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x y' \cos (x y)$ 。

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5.3

从 $y' - x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5.3.2

从 $- x y' \cos (x y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5.3.3

从 $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

解题步骤 5.4

将 $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ 中的每一项除以 $1 - x \cos (x y)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ 中的每一项都除以 $1 - x \cos (x y)$ 。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $1 - x \cos (x y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$y \cos (x y) + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y \cos (x y) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $y \cos (x y) = - 1$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $y \cos (x y) = - 1$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\cos (x y)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

解题步骤 7.2.4

将 $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

解题步骤 7.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.4.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

解题步骤 7.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ 。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

解题步骤 8.1.1.1.2

重写表达式。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

解题步骤 8.1.1.2

在平面中画出顶点为 $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ 、 $(- \frac{1}{y}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (- \frac{1}{y})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ 为 $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

解题步骤 8.1.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

解题步骤 8.1.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = - \frac{1}{y}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.5

乘以 $- - \frac{1}{y}$ 。

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解题步骤 8.1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.5.2

将 $\frac{1}{y}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.7

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

解题步骤 8.1.1.9

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

解题步骤 8.1.1.10

将 $\frac{y - 1}{y}$ 乘以 $\frac{y + 1}{y}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

解题步骤 8.1.1.11

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

解题步骤 8.1.1.12

将 $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ 。

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解题步骤 8.1.1.12.1

从 $(y - 1) (y + 1)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

解题步骤 8.1.1.12.2

从 $y^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $y^{2}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 8.1.1.12.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

解题步骤 8.1.1.13

从根式下提出各项。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

解题步骤 8.1.1.14

组合 $\frac{1}{y}$ 和 $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ 。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

解题步骤 8.1.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

解题步骤 8.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$y \approx 1.94368519$

解题步骤 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

解题步骤 9.2

化简 $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ 。

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解题步骤 9.2.1

化简分子。

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解题步骤 9.2.1.1

用 $1$ 除以 $1.94368519$ 。

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5144866$ 。

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

解题步骤 9.2.1.3

计算 $\arccos (- 0.5144866)$ 。

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

解题步骤 9.2.2

用 $2.11120515$ 除以 $1.94368519$ 。

$x = 1.08618677$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(1.08618677, 1.94368519)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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