微积分学示例

$7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x y$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$14 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$14 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$14 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$14 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y y')$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y'$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$14 x + 6 (x y') + 6 y + 18 y y'$

解题步骤 2.5.2

去掉多余的括号。

$14 x + 6 x y' + 6 y + 18 y y'$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $14 x$ 。

$6 x y' + 18 y y' + 6 y = - 14 x$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $6 y$ 。

$6 x y' + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

解题步骤 5.2

从 $6 x y' + 18 y y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $6 x y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' x + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

解题步骤 5.2.2

从 $18 y y'$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' x + 6 y' (3 y) = - 14 x - 6 y$

解题步骤 5.2.3

从 $6 y' x + 6 y' (3 y)$ 中分解出因数 $6 y'$ 。

$6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$

解题步骤 5.3

将 $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ 中的每一项除以 $6 (x + 3 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ 中的每一项都除以 $6 (x + 3 y)$ 。

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x + 3 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 14$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

从 $6 (x + 3 y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $- 6$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- 6 y$ 中分解出因数 $6$ 。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.2.1

约去公因数。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- y}{x + 3 y}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{y}{x + 3 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 (x + 3 y)$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{y}{x + 3 y}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 3 y) \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(x + 3 y) \cdot 3$ 的因式。

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 7 x - y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 7 x - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.6

从 $- 7 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (7 x) - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.7

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (7 x) - (3 y)}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.8

从 $- (7 x) - (3 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.9.1

将 $- (7 x + 3 y)$ 重写为 $- 1 (7 x + 3 y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 5.3.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$7 x + 3 y = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$7 x = - 3 y$

解题步骤 7.2.2

将 $7 x = - 3 y$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $7 x = - 3 y$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 y}{7}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 y}{7}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $7 {(- \frac{3 y}{7})}^{2} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.1.1.1.1

对 $- \frac{3 y}{7}$ 运用乘积法则。

$7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 y}{7})}^{2}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.1.2

对 $\frac{3 y}{7}$ 运用乘积法则。

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 y)}^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.1.3

对 $3 y$ 运用乘积法则。

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 (1 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.3

将 $\frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 \frac{9 y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 \frac{9 y^{2}}{49} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.6.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$7 \frac{9 y^{2}}{7 (7)} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.2

约去公因数。

$7 \frac{9 y^{2}}{7 \cdot 7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.3

重写表达式。

$\frac{9 y^{2}}{7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.7

乘以 $6 (- \frac{3 y}{7})$ 。

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解题步骤 8.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{9 y^{2}}{7} - 6 \frac{3 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.7.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{3 y}{7}$ 。

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 6 (3 y)}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.7.3

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.9

乘以 $- \frac{18 y}{7} y$ 。

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解题步骤 8.1.1.9.1

组合 $y$ 和 $\frac{18 y}{7}$ 。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{y (18 y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.9.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.9.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y^{1})}{7} + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{1 + 1}}{7} + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{2}}{7} + 9 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.2

化简项。

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解题步骤 8.1.2.1

在公分母上合并分子。

$9 y^{2} + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.2.2

从 $9 y^{2}$ 中减去 $18 y^{2}$ 。

$9 y^{2} + \frac{- 9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$9 y^{2} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.3

要将 $9 y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$9 y^{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.4

化简项。

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解题步骤 8.1.4.1

组合 $9 y^{2}$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{9 y^{2} \cdot 7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.5

化简分子。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}$ 中分解出因数 $9 y^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1.1

从 $9 y^{2} \cdot 7$ 中分解出因数 $9 y^{2}$ 。

$\frac{9 y^{2} (7) - 9 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.1.5.1.2

从 $- 9 y^{2}$ 中分解出因数 $9 y^{2}$ 。

$\frac{9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)}{7} = 0$

解题步骤 8.1.5.1.3

从 $9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)$ 中分解出因数 $9 y^{2}$ 。

$\frac{9 y^{2} (7 - 1)}{7} = 0$

解题步骤 8.1.5.2

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$\frac{9 y^{2} \cdot 6}{7} = 0$

解题步骤 8.1.5.3

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$\frac{54 y^{2}}{7} = 0$

解题步骤 8.2

将分子设为等于零。

$54 y^{2} = 0$

解题步骤 8.3

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 8.3.1

将 $54 y^{2} = 0$ 中的每一项除以 $54$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $54 y^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $54$ 。

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

解题步骤 8.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去 $54$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{0}{54}$

解题步骤 8.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $54$ 。

$y^{2} = 0$

解题步骤 8.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 8.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 8.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 0$

解题步骤 8.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 9

化简 $- \frac{3 (0)}{7}$ 。

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解题步骤 9.1

约去 $0$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $7$ 。

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7}$

解题步骤 9.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 (1)}$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 \cdot 1}$

解题步骤 9.1.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{3 \cdot (0)}{1}$

解题步骤 9.1.2.4

用 $3 \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$x = - (3 \cdot (0))$

解题步骤 9.2

乘以 $- (3 \cdot (0))$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$x = - 0$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 0)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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