微积分学示例

$x^{2} + x y = 10$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + x y' + y \cdot 1$

解题步骤 2.2.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 x + x y' + y$

解题步骤 2.3

重新排序项。

$x y' + 2 x + y$

解题步骤 3

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x y' + 2 x + y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x y' + y = - 2 x$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' = - 2 x - y$

解题步骤 5.2

将 $x y' = - 2 x - y$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $x y' = - 2 x - y$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$- \frac{y}{x} = 2$

解题步骤 7.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 7.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 7.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 7.3

将 $- \frac{y}{x} = 2$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \frac{y}{x} = 2$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

解题步骤 7.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

解题步骤 7.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

解题步骤 7.3.2.1.3

重写表达式。

$- y = 2 x$

解题步骤 7.4

求解方程。

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解题步骤 7.4.1

将方程重写为 $2 x = - y$ 。

$2 x = - y$

解题步骤 7.4.2

将 $2 x = - y$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.4.2.1

将 $2 x = - y$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 7.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

解题步骤 7.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- y}{2}$

解题步骤 7.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{y}{2}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ 。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.1.1.1.1

对 $- \frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

解题步骤 8.1.1.1.2

对 $\frac{y}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

解题步骤 8.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

解题步骤 8.1.1.3

将 $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

解题步骤 8.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

解题步骤 8.1.1.5

乘以 $(- \frac{y}{2}) y$ 。

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解题步骤 8.1.1.5.1

组合 $y$ 和 $\frac{y}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

解题步骤 8.1.1.5.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

解题步骤 8.1.1.5.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

解题步骤 8.1.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

解题步骤 8.1.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

解题步骤 8.1.2

要将 $- \frac{y^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

解题步骤 8.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $\frac{y^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

解题步骤 8.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

解题步骤 8.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

解题步骤 8.1.5

化简分子。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

解题步骤 8.1.5.1.2

从 $- y^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

解题步骤 8.1.5.1.3

从 $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

解题步骤 8.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

解题步骤 8.1.5.3

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

解题步骤 8.1.6

化简表达式。

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解题步骤 8.1.6.1

将 $- 1$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

解题步骤 8.1.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

解题步骤 8.2

等式两边同时乘以 $- 4$ 。

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3

化简方程的两边。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

化简 $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1.1

将 $- \frac{y^{2}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.1.4

重写表达式。

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2

乘。

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解题步骤 8.3.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.1.1.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $- 4$ 乘以 $10$ 。

$y^{2} = - 40$

解题步骤 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

解题步骤 8.5

化简 $\pm \sqrt{- 40}$ 。

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解题步骤 8.5.1

将 $- 40$ 重写为 $- 1 (40)$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

解题步骤 8.5.2

将 $\sqrt{- 1 (40)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

解题步骤 8.5.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

解题步骤 8.5.4

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 8.5.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

解题步骤 8.5.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

解题步骤 8.5.5

从根式下提出各项。

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

解题步骤 8.5.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

解题步骤 8.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 2 i \sqrt{10}$

解题步骤 8.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 2 i \sqrt{10}$

解题步骤 8.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

解题步骤 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 9.2.2

用 $i \sqrt{10}$ 除以 $1$ 。

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

解题步骤 10

化简 $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ 。

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解题步骤 10.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1

从 $- 2 i \sqrt{10}$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

解题步骤 10.1.2

约去公因数。

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解题步骤 10.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

解题步骤 10.1.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 10.1.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

解题步骤 10.1.2.4

用 $- i \sqrt{10}$ 除以 $1$ 。

$x = - (- i \sqrt{10})$

解题步骤 10.2

乘以 $- (- i \sqrt{10})$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 (i \sqrt{10})$

解题步骤 10.2.2

将 $\sqrt{10}$ 乘以 $1$ 。

$x = \sqrt{10} i$

解题步骤 11

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

解题步骤 12

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