微积分学示例

$x^{6} = \cot (y)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 x^{5}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (y) y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ 。

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

解题步骤 5.2

将 $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ 中的每一项除以 $- \csc^{2} (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ 中的每一项都除以 $- \csc^{2} (y)$ 。

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2.2

约去 $\csc^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$6 x^{5} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

将 $6 x^{5} = 0$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $6 x^{5} = 0$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 7.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

解题步骤 7.2.1.2.1.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$x^{5} = \frac{0}{6}$

解题步骤 7.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $6$ 。

$x^{5} = 0$

解题步骤 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 7.2.3

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 7.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $\cot (y) = 0^{6}$ 。

$\cot (y) = 0^{6}$

解题步骤 8.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\cot (y) = 0$

解题步骤 8.3

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $y$ 。

$y = arccot (0)$

解题步骤 8.4

化简右边。

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解题步骤 8.4.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$y = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.5

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$y = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 8.6

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 8.6.2

合并分数。

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解题步骤 8.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 8.6.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 8.6.3

化简分子。

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解题步骤 8.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 8.6.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$y = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.7

求 $\cot (y)$ 的周期。

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解题步骤 8.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 8.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 8.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8.8

$\cot (y)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.9

合并答案。

$y = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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