微积分学示例

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 27, 27]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 1.1.1.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.1.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

解题步骤 1.1.1.10

乘。

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解题步骤 1.1.1.10.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.11

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.12

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.12.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.1.1.12.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.1.12.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 1.3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

解题步骤 1.3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 1.4.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

约去公因数。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

重写表达式。

$3 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 27$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 27$ 替换 $x$ 。

$3 {(- 27)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $- 27$ 重写为 ${(- 3)}^{3}$ 。

$3 {({(- 3)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 2.1.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去公因数。

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 2.1.2.2.2

重写表达式。

$3 {(- 3)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 9$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$27$

解题步骤 2.2

在 $x = 27$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $27$ 替换 $x$ 。

$3 {(27)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$3 {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 2.2.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去公因数。

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 2.2.2.2.2

重写表达式。

$3 \cdot 3^{2}$

解题步骤 2.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.3.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 9$

解题步骤 2.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$27$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 27, 27), (27, 27)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 27, 27), (27, 27)$

最小绝对值： $(0, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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