微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12$ 。

$3 x^{2} - 12$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$3 x^{2} = 12$

解题步骤 1.2.3

将 $3 x^{2} = 12$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 x^{2} = 12$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{12}{3}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $12$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 1.2.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 12 x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 12 \cdot 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$8 - 24$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$- 16$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 - 12 \cdot - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 + 24$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$16$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(2, - 16), (- 2, 16)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(2, - 16)$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $3 x^{2} - 12$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (- 4) = 48 - 12$

解题步骤 3.2.2.2

从 $48$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 4) = 36$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $36$ 。

$36$

解题步骤 3.3

将区间 $(- 2, 2)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $3 x^{2} - 12$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 12$

解题步骤 3.3.2.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$f' (0) = - 12$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 3.4

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $3 x^{2} - 12$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 48 - 12$

解题步骤 3.4.2.2

从 $48$ 中减去 $12$ 。

$f' (4) = 36$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $36$ 。

$36$

解题步骤 3.5

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 2$ 是极大值。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 3.6

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 3.7

这些是 $f (x) = x^{3} - 12 x$ 的局部极值。

$x = - 2$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = - 2$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

最小绝对值： $(2, - 16)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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