微积分学示例

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ , $[- 2, 0]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $3 x^{2} - 2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 2 x - 8$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

把 $- 2$ 重写为 $4$ 加 $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 4$ 来因式分解多项式。

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $3 x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $3 x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 4 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 x = - 4$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $3 x = - 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $3 x = - 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{4}{3}, 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - \frac{4}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- \frac{4}{3}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.2

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.1

对 $- \frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.2

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.6.1

移动 ${(- 1)}^{2}$ 。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.6.2

将 ${(- 1)}^{2}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.6.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.8

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.10

乘以 $- 8 (- \frac{4}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.10.2

组合 $8$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.1.10.3

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $\frac{16}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $\frac{16}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $\frac{32}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.4

将 $\frac{32}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.5

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.2.6

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.2.7

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.2.8

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.2.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.2.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

将 $32$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 4 \cdot 27}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.4.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 108}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

从 $- 64$ 中减去 $48$ 。

$\frac{- 112 + 288 + 108}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将 $- 112$ 和 $288$ 相加。

$\frac{176 + 108}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.5.3

将 $176$ 和 $108$ 相加。

$\frac{284}{27}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$8 - 4 - 16 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$4 - 16 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$- 12 + 4$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $- 12$ 和 $4$ 相加。

$- 8$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27}), (2, - 8)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 - 4 + 16 + 4$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $- 8$ 中减去 $4$ 。

$- 12 + 16 + 4$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 12$ 和 $16$ 相加。

$4 + 4$

解题步骤 3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$8$

解题步骤 3.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 4$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 4$

解题步骤 3.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 4$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 4$

解题步骤 3.2.2.2.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$4$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 2, 8), (0, 4)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

最小绝对值： $(0, 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例