微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 16 x - 20$ 。

$3 x^{2} - 16 x - 20$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 16$ 和 $c = - 20$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 20$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.3

将 $256$ 和 $240$ 相加。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $496$ 重写为 $4^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $496$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 20$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $256$ 和 $240$ 相加。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $496$ 重写为 $4^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $496$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 20$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $256$ 和 $240$ 相加。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $496$ 重写为 $4^{2} \cdot 31$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $496$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ 。

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 2.0451763$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 2.0451763$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

解题步骤 5.2.1.2

将 $3$ 乘以 $4.18274609$ 。

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 2.0451763$ 。

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $12.54823829$ 和 $32.7228208$ 相加。

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

解题步骤 5.2.2.2

从 $45.27105909$ 中减去 $20$ 。

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $25.27105909$ 。

$25.27105909$

解题步骤 5.3

在 $x = - 2.0451763$ 处，导数为 $25.27105909$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2.6666666$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2.6666666$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $7.11111075$ 。

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $2.6666666$ 。

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

解题步骤 6.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $21.33333226$ 中减去 $42.6666656$ 。

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 21.\overline{3}$ 中减去 $20$ 。

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 41.\overline{3}$ 。

$- 41.\overline{3}$

解题步骤 6.3

在 $x = 2.6666666$ 处，导数为 $- 41.\overline{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $7.3785095$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $7.3785095$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $54.44240244$ 。

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $7.3785095$ 。

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $163.32720732$ 中减去 $118.056152$ 。

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

解题步骤 7.2.2.2

从 $45.27105532$ 中减去 $20$ 。

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $25.27105532$ 。

$25.27105532$

解题步骤 7.3

在 $x = 7.3785095$ 处，导数为 $25.27105532$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

递减于： $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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