微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 18 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 18$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 36 x$ 。

$4 x^{3} - 36 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 36 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 36 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{3} - 36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 36 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

因数。

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解题步骤 2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, 3$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0, - 3, 3$ 。

$0, - 3, 3$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 36 \cdot - 4$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 36 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 64$ 。

$f' (- 4) = - 256 - 36 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 36$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - 256 + 144$

解题步骤 5.2.2

将 $- 256$ 和 $144$ 相加。

$f' (- 4) = - 112$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 112$ 。

$- 112$

解题步骤 5.3

在 $x = - 4$ 处，导数为 $- 112$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 3)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 3, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.5.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.3

约去公因数。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.4

重写表达式。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

解题步骤 6.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.7.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (\frac{- 3}{2})$

解题步骤 6.2.1.7.2

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{- 3}{2})$

解题步骤 6.2.1.7.3

约去公因数。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{- 3}{2}))$

解题步骤 6.2.1.7.4

重写表达式。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 18 \cdot - 3$

解题步骤 6.2.1.8

将 $- 18$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54$

解题步骤 6.2.2

要将 $54$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.3

组合 $54$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $54$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{2}$

解题步骤 6.2.5.2

将 $- 27$ 和 $108$ 相加。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

解题步骤 6.2.6

最终答案为 $\frac{81}{2}$ 。

$\frac{81}{2}$

解题步骤 6.3

在 $x = - \frac{3}{2}$ 处，导数为 $\frac{81}{2}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 3, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 3, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.4.2

约去公因数。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.4.3

重写表达式。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 36 (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.5.1

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{3}{2})$

解题步骤 7.2.1.5.2

约去公因数。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{3}{2}))$

解题步骤 7.2.1.5.3

重写表达式。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 \cdot 3$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54$

解题步骤 7.2.2

要将 $- 54$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.3

组合 $- 54$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 54$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $27$ 中减去 $108$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{2}$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{2}$

解题步骤 7.2.7

最终答案为 $- \frac{81}{2}$ 。

$- \frac{81}{2}$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{3}{2}$ 处，导数为 $- \frac{81}{2}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 3)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 3)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

解题步骤 8.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 36 \cdot 4$

解题步骤 8.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = 4^{4} - 36 \cdot 4$

解题步骤 8.2.1.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (4) = 256 - 36 \cdot 4$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 36$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 256 - 144$

解题步骤 8.2.2

从 $256$ 中减去 $144$ 。

$f' (4) = 112$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $112$ 。

$112$

解题步骤 8.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $112$ 。由于其值为正，函数在 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- 3, 0), (3, \infty)$

递减于： $(- \infty, - 3), (0, 3)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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