微积分学 示例

用导数得出哪里增大/减小。 f(x)=x+9/x
解题步骤 1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2
计算
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解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.2
重写为
解题步骤 1.1.2.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.4
乘以
解题步骤 1.1.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 1.1.4
化简。
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解题步骤 1.1.4.1
合并项。
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解题步骤 1.1.4.1.1
组合
解题步骤 1.1.4.1.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.4.2
重新排序项。
解题步骤 1.2
的一阶导数是
解题步骤 2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 2.2
从等式两边同时减去
解题步骤 2.3
求方程中各项的最小公分母 (LCD)。
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解题步骤 2.3.1
求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。
解题步骤 2.3.2
1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。
解题步骤 2.4
中的每一项乘以 以消去分数。
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解题步骤 2.4.1
中的每一项乘以
解题步骤 2.4.2
化简左边。
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解题步骤 2.4.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 2.4.2.1.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 2.4.2.1.2
约去公因数。
解题步骤 2.4.2.1.3
重写表达式。
解题步骤 2.5
求解方程。
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解题步骤 2.5.1
将方程重写为
解题步骤 2.5.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 2.5.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 2.5.2.2
化简左边。
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解题步骤 2.5.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 2.5.2.2.2
除以
解题步骤 2.5.2.3
化简右边。
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解题步骤 2.5.2.3.1
除以
解题步骤 2.5.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 2.5.4
化简
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解题步骤 2.5.4.1
重写为
解题步骤 2.5.4.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 2.5.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
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解题步骤 2.5.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 2.5.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 2.5.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 3
使导数等于 的值为
解题步骤 4
求导数无意义的位置。
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解题步骤 4.1
的分母设为等于 ,以求使表达式无意义的区间。
解题步骤 4.2
求解
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解题步骤 4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 4.2.2
化简
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解题步骤 4.2.2.1
重写为
解题步骤 4.2.2.2
假设各项均为正实数,从根式下提出各项。
解题步骤 4.2.2.3
正负
解题步骤 5
分解 值周围的独立区间中,这些值使导数 或未定义。
解题步骤 6
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 6.2
化简结果。
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解题步骤 6.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 6.2.2
写成具有公分母的分数。
解题步骤 6.2.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 6.2.4
相加。
解题步骤 6.2.5
最终答案为
解题步骤 6.3
处,导数为 。由于其值为正,函数在 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 7
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 7.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 7.2
化简结果。
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解题步骤 7.2.1
化简每一项。
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解题步骤 7.2.1.1
化简分母。
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解题步骤 7.2.1.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 7.2.1.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 7.2.1.1.3
运用乘积法则。
解题步骤 7.2.1.1.4
进行 次方运算。
解题步骤 7.2.1.1.5
进行 次方运算。
解题步骤 7.2.1.1.6
乘以
解题步骤 7.2.1.2
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 7.2.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 7.2.1.3.1
约去公因数。
解题步骤 7.2.1.3.2
重写表达式。
解题步骤 7.2.1.4
乘以
解题步骤 7.2.2
相加。
解题步骤 7.2.3
最终答案为
解题步骤 7.3
处,导数为 。由于其值为负,函数在 上递减。
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 8
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 8.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 8.2
化简结果。
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解题步骤 8.2.1
化简每一项。
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解题步骤 8.2.1.1
化简分母。
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解题步骤 8.2.1.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 8.2.1.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 8.2.1.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 8.2.1.2
将分子乘以分母的倒数。
解题步骤 8.2.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 8.2.1.3.1
约去公因数。
解题步骤 8.2.1.3.2
重写表达式。
解题步骤 8.2.1.4
乘以
解题步骤 8.2.2
相加。
解题步骤 8.2.3
最终答案为
解题步骤 8.3
处,导数为 。由于其值为负,函数在 上递减。
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 9
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 9.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 9.2
化简结果。
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解题步骤 9.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 9.2.2
化简表达式。
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解题步骤 9.2.2.1
写成具有公分母的分数。
解题步骤 9.2.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 9.2.2.3
相加。
解题步骤 9.2.3
最终答案为
解题步骤 9.3
处,导数为 。由于其值为正,函数在 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 10
列出函数在其上递增与递减的区间。
递增区间:
递减于:
解题步骤 11