微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8

合并分数。

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解题步骤 1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.9

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.12.2

将 $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.14

将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.15

要将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.16

组合 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18

通过指数相加将 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.18.1

移动 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19

化简 ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ 。

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.20

将 $2$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21

化简。

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解题步骤 1.1.21.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.21.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$3 x + 4 = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$3 x = - 4$

解题步骤 2.3.2

将 $3 x = - 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $3 x = - 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{3}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4}{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{4}{3}$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.4

化简。

$4 (x + 2) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 x + 8 = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x + 8 = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$4 x = - 8$

解题步骤 4.3.3.2

将 $4 x = - 8$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $4 x = - 8$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 4.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 4.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 4.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $4$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 < 0$

解题步骤 4.5

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x < - 2$

解题步骤 4.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 9$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 3$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.2.3

计算指数。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

解题步骤 6.2.3

对 $\frac{- 5}{2 i}$ 的分子和分母乘以 $2 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

解题步骤 6.2.4

乘。

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解题步骤 6.2.4.1

合并。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

解题步骤 6.2.4.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.4.2.1

添加圆括号。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

解题步骤 6.2.4.2.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

解题步骤 6.2.4.2.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

解题步骤 6.2.4.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

解题步骤 6.2.4.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

解题步骤 6.2.4.2.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

解题步骤 6.2.6

将两个负数相除得到一个正数。

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

解题步骤 6.2.7

最终答案为 $\frac{5 i}{2}$ 。

$\frac{5 i}{2}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $\frac{5 i}{2}$ 。因其包含虚数，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上不存在。

因为 $f' (x)$ 为虚数，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上不是实函数

解题步骤 7

将区间 $(- 2, - \frac{4}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1.6666667$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 1.6666667$ 。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 5.0000001$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 1.6666667$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0.3333333$ 重写为 ${0.57735024}^{2}$ 。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

解题步骤 7.2.2.5

计算指数。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $2$ 乘以 $0.57735024$ 。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $- 1.0000001$ 除以 $1.15470048$ 。

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 0.86602553$ 。

$- 0.86602553$

解题步骤 7.3

在 $x = - 1.6666667$ 处，导数为 $- 0.86602553$ 。由于其值为负，函数在 $(- 2, - \frac{4}{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, - \frac{4}{3})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(- \frac{4}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 0.3333334$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 0.3333334$ 。

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $- 1.0000002$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $- 0.3333334$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.2

将 $1.6666666$ 重写为 ${1.29099442}^{2}$ 。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 8.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.4.1

约去公因数。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 8.2.2.4.2

重写表达式。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

解题步骤 8.2.2.5

计算指数。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

解题步骤 8.2.3

化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1.29099442$ 。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

解题步骤 8.2.3.2

用 $2.9999998$ 除以 $2.58198884$ 。

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $1.16189494$ 。

$1.16189494$

解题步骤 8.3

在 $x = - 0.3333334$ 处，导数为 $1.16189494$ 。由于其值为正，函数在 $(- \frac{4}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \frac{4}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \frac{4}{3}, \infty)$

递减于： $(- 2, - \frac{4}{3})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例