微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 25$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 25$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 25$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.3.2.2

将 $- 50 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5

化简分母。

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解题步骤 1.1.6.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

解题步骤 1.1.6.5.3

对 $(x + 5) (x - 5)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$50 x = 0$

解题步骤 2.3

将 $50 x = 0$ 中的每一项除以 $50$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $50 x = 0$ 中的每一项都除以 $50$ 。

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $50$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{50}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $50$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x + 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

将 ${(x + 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(x + 5)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 4.2.3

将 ${(x - 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 ${(x - 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 5)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.2.3.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4.2.4

最终解为使 ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 5, 5$

解题步骤 4.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 5, x = 5$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $50$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 6$ 中减去 $5$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $121$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{300}{121}$ 。

$\frac{300}{121}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $\frac{300}{121}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 5, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- \frac{5}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $50$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

组合 $- 50$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.4.2

将 $- 5$ 和 $10$ 相加。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.5

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.6

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.7

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.9.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.9.2

从 $- 5$ 中减去 $10$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.10

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.11

对 $- \frac{15}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

解题步骤 7.2.2.12

合并指数。

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解题步骤 7.2.2.12.1

组合 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 和 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.12.2

组合 $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ 和 ${(\frac{15}{2})}^{2}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.13.1

对 $\frac{15}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.2

合并指数。

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解题步骤 7.2.2.13.2.1

组合 $5^{2}$ 和 $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.2.2

组合 ${(- 1)}^{2}$ 和 $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.2.13.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.3.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.3.3

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.3.4

合并指数。

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解题步骤 7.2.2.13.3.4.1

将 $25$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.3.4.2

将 $25$ 乘以 $225$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.13.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

解题步骤 7.2.2.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

解题步骤 7.2.2.15

将分子乘以分母的倒数。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

解题步骤 7.2.2.16

乘以 $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.2.16.1

将 $\frac{5625}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 7.2.2.16.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $- 50$ 乘以 $5$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $- 250$ 除以 $2$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 7.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

解题步骤 7.2.5

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.5.1

从 $- 125$ 中分解出因数 $125$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

解题步骤 7.2.5.2

从 $5625$ 中分解出因数 $125$ 。

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

解题步骤 7.2.5.3

约去公因数。

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

解题步骤 7.2.5.4

重写表达式。

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $\frac{16}{45}$ 。

$\frac{16}{45}$

解题步骤 7.3

在 $x = - \frac{5}{2}$ 处，导数为 $\frac{16}{45}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 5, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 5, 0)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(0, 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $\frac{5}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

组合 $50$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.4.2

将 $5$ 和 $10$ 相加。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.5

对 $\frac{15}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.6

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.7

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.9

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.9.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.9.2

从 $5$ 中减去 $10$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.10

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.11

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

解题步骤 8.2.2.12

合并指数。

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解题步骤 8.2.2.12.1

组合 $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ 和 ${(- 1)}^{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.12.2

组合 $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ 和 ${(\frac{5}{2})}^{2}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.13.1

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.2

合并指数。

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解题步骤 8.2.2.13.2.1

组合 $15^{2}$ 和 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.2.2

组合 ${(- 1)}^{2}$ 和 $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.3

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.13.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.3.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.3.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.3.4

合并指数。

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解题步骤 8.2.2.13.3.4.1

将 $225$ 乘以 $1$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.3.4.2

将 $225$ 乘以 $25$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.13.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

解题步骤 8.2.2.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

解题步骤 8.2.2.15

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

解题步骤 8.2.2.16

乘以 $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 8.2.2.16.1

将 $\frac{5625}{4}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

解题步骤 8.2.2.16.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 8.2.3

化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $50$ 乘以 $5$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 8.2.3.2

用 $250$ 除以 $2$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

解题步骤 8.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

解题步骤 8.2.5

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.5.1

从 $5625$ 中分解出因数 $125$ 。

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

解题步骤 8.2.5.2

约去公因数。

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

解题步骤 8.2.5.3

重写表达式。

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

解题步骤 8.2.6

最终答案为 $- \frac{16}{45}$ 。

$- \frac{16}{45}$

解题步骤 8.3

在 $x = \frac{5}{2}$ 处，导数为 $- \frac{16}{45}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 5)$ 上递减

解题步骤 9

将区间 $(5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $50$ 乘以 $6$ 。

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $6$ 和 $5$ 相加。

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $6$ 中减去 $5$ 。

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

解题步骤 9.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3

将 $121$ 乘以 $1$ 。

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $- \frac{300}{121}$ 。

$- \frac{300}{121}$

解题步骤 9.3

在 $x = 6$ 处，导数为 $- \frac{300}{121}$ 。由于其值为负，函数在 $(5, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(5, \infty)$ 上递减

解题步骤 10

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

递减于： $(0, 5), (5, \infty)$

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例