微积分学示例

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 1.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 1.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.13

合并分数。

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解题步骤 1.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

解题步骤 1.1.13.2

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 4.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

解题步骤 4.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.4

化简。

$4 (4 - x) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6

乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 - 4 x = 0^{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$16 - 4 x = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$- 4 x = - 16$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- 4 x = - 16$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- 4 x = - 16$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

解题步骤 4.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

解题步骤 4.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 16}{- 4}$

解题步骤 4.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.2.3.1

用 $- 16$ 除以 $- 4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{4 - x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 - x < 0$

解题步骤 4.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x < - 4$

解题步骤 4.5.2

将 $- x < - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $- x < - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 4.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x > 4$

解题步骤 4.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \sqrt{4 - x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ 。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3

在 $x = 3$ 处，导数为 $- \frac{1}{2}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 4)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.2.1.3

将 ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

解题步骤 7.2.1.4

计算指数。

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

解题步骤 7.2.2

对 $\frac{1}{2 i}$ 的分子和分母乘以 $2 i$ 的共轭以使分母变为实数。

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

解题步骤 7.2.3

乘。

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解题步骤 7.2.3.1

合并。

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

解题步骤 7.2.3.3

化简分母。

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解题步骤 7.2.3.3.1

添加圆括号。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

解题步骤 7.2.3.3.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

解题步骤 7.2.3.3.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

解题步骤 7.2.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

解题步骤 7.2.3.3.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.2.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

解题步骤 7.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (5) = \frac{i}{2}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $\frac{i}{2}$ 。

$\frac{i}{2}$

解题步骤 7.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $\frac{i}{2}$ 。因其包含虚数，所以函数在 $(4, \infty)$ 上不存在。

因为 $f' (x)$ 为虚数，所以函数在 $(4, \infty)$ 上不是实函数

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 4)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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