微积分学 示例

用导数得出哪里增大/减小。 f(x) = square root of x^2+4
解题步骤 1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.1.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.2.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.3
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.4
组合
解题步骤 1.1.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.6
化简分子。
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解题步骤 1.1.6.1
乘以
解题步骤 1.1.6.2
中减去
解题步骤 1.1.7
合并分数。
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解题步骤 1.1.7.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.7.2
组合
解题步骤 1.1.7.3
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 1.1.8
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.9
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.10
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.11
化简项。
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解题步骤 1.1.11.1
相加。
解题步骤 1.1.11.2
组合
解题步骤 1.1.11.3
组合
解题步骤 1.1.11.4
约去公因数。
解题步骤 1.1.11.5
重写表达式。
解题步骤 1.2
的一阶导数是
解题步骤 2
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 2.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 2.2
将分子设为等于零。
解题步骤 3
使导数等于 的值为
解题步骤 4
求出让导数 等于 或无定义的点后,用来检验 在何处增加和在何处减少的区间即为
解题步骤 5
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 5.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 5.2
化简结果。
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解题步骤 5.2.1
化简分母。
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解题步骤 5.2.1.1
进行 次方运算。
解题步骤 5.2.1.2
相加。
解题步骤 5.2.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 5.2.3
最终答案为
解题步骤 5.3
处,导数为 。由于其值为负,函数在 上递减。
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 6
将区间 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。
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解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 6.2
化简结果。
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解题步骤 6.2.1
化简分母。
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解题步骤 6.2.1.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 6.2.1.2
相加。
解题步骤 6.2.2
最终答案为
解题步骤 6.3
处,导数为 。由于其值为正,函数在 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 7
列出函数在其上递增与递减的区间。
递增区间:
递减于:
解题步骤 8