微积分学示例

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x + 5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\frac{1}{x + 5}$ 重写为 ${(x + 5)}^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 5$ 。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

解题步骤 1.1.3.2

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.3.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.4.2.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ 。

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$5 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $5 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ 。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 5)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 6$ 和 $5$ 相加。

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

解题步骤 6.2.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.2.1

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (- 6) = - 5$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 6.3

在 $x = - 6$ 处，导数为 $- 5$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, - 5)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 5)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 5, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

用 $5$ 除以 $1$ 。

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f' (- 4) = - 5$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 7.3

在 $x = - 4$ 处，导数为 $- 5$ 。由于其值为负，函数在 $(- 5, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 5, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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