微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

解题步骤 6.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f' (- 2) = 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

解题步骤 7.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f' (0) = 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7.3

在 $x = 0$ 处，导数为 $1$ 。由于其值为正，函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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