微积分学示例

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

解题步骤 1.1.5

重新排序项。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ 。

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = - 3$ 、 $b = 6$ 和 $c = 4$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.3

将 $36$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $84$ 重写为 $2^{2} \cdot 21$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1.4.1

从 $84$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $36$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $84$ 重写为 $2^{2} \cdot 21$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1.4.1

从 $84$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.3

将 $36$ 和 $48$ 相加。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $84$ 重写为 $2^{2} \cdot 21$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1.4.1

从 $84$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 2.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ 。

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.52752525$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.52752525$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2.33333338$ 。

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

解题步骤 5.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1.52752525$ 。

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $- 7.00000016$ 中减去 $9.1651515$ 。

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 16.16515166$ 和 $4$ 相加。

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 12.16515166$ 。

$- 12.16515166$

解题步骤 5.3

在 $x = - 1.52752525$ 处，导数为 $- 12.16515166$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.99999997$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $0.99999997$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0.99999995$ 。

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

解题步骤 6.2.1.3

将 $6$ 乘以 $0.99999997$ 。

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

解题步骤 6.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $- 2.99999985$ 和 $5.99999985$ 相加。

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

解题步骤 6.2.2.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$f' (0.99999997) = 7$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $7$ 。

$7$

解题步骤 6.3

在 $x = 0.99999997$ 处，导数为 $7$ 。由于其值为正，函数在 $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.5275252$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $3.5275252$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $12.44343403$ 。

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

解题步骤 7.2.1.3

将 $6$ 乘以 $3.5275252$ 。

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

解题步骤 7.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

将 $- 37.3303021$ 和 $21.1651512$ 相加。

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 16.1651509$ 和 $4$ 相加。

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 12.1651509$ 。

$- 12.1651509$

解题步骤 7.3

在 $x = 3.5275252$ 处，导数为 $- 12.1651509$ 。由于其值为负，函数在 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

递减于： $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例