微积分学示例

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3 x^{2} - 8 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x - 3$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 8 x - 3$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 3$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$3 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

把 $- 8$ 重写为 $1$ 加 $- 9$

$3 x^{2} + (1 - 9) x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + x - 9 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} + x) - 9 x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, 3$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 1$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - \frac{1}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- \frac{1}{3}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{1}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1^{3}}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{3^{3}} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{27} - 4 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.2.1.5.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.5.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{27} - 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{27} - 4 (1 \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.7

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{27} - 4 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.8

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{27} - 4 \frac{1}{3^{2}} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{27} - 4 (\frac{1}{9}) - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{9}$ 。

$- \frac{1}{27} + \frac{- 4}{9} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 3 (- \frac{1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.12.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 3 (\frac{- 1}{3}) + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 3 (- 1) \frac{- 1}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.3

约去公因数。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 3 \cdot - 1 \frac{- 1}{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.12.4

重写表达式。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} - 1 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.1.2.1.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4}{9} + 1 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{27} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

解题步骤 4.1.2.2.6

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

解题步骤 4.1.2.2.7

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.2.8

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.2.9

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.2.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{1}{27} - \frac{4 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

解题步骤 4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 4 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 1 - 12 + 27 + 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.4.2

从 $- 1$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 13 + 27 + 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.4.3

将 $- 13$ 和 $27$ 相加。

$\frac{14 + 27}{27}$

解题步骤 4.1.2.4.4

将 $14$ 和 $27$ 相加。

$\frac{41}{27}$

解题步骤 4.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

${(3)}^{3} - 4 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 4 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 4 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$27 - 36 - 3 \cdot 3 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$27 - 36 - 9 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $27$ 中减去 $36$ 。

$- 9 - 9 + 1$

解题步骤 4.2.2.2.2

从 $- 9$ 中减去 $9$ 。

$- 18 + 1$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $- 18$ 和 $1$ 相加。

$- 17$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- \frac{1}{3}, \frac{41}{27}), (3, - 17)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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