微积分学示例

$y = {(x - 7)}^{3}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 7$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 7$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 7]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

解题步骤 1.1.1.3

使用 $x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$3 {(x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.1.2.3

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x - 7)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 {(x - 7)}^{2}$ 。

$3 {(x - 7)}^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 {(x - 7)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

将 $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 ${(x - 7)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

${(x - 7)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$x - 7 = 0$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $7$ 。

$x = 7$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x - 7)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 7$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $7$ 替换 $x$ 。

${((7) - 7)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $7$ 中减去 $7$ 。

$0^{3}$

解题步骤 4.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(7, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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