微积分学示例

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $12 x^{3} - 12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $36 x^{2} - 24 x$ 。

$36 x^{2} - 24 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $36 x^{2} - 24 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$36 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $36 x^{2} - 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $3 x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $3 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 x = 2$

解题步骤 2.5.2.2

将 $3 x = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.5.2.2.1

将 $3 x = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{2}{3}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x (3 x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{2}{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 中求得的点为 $(0, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 1)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{2}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\frac{2}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

解题步骤 3.3.2.1.8

乘以 $- 4 (\frac{8}{27})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.8.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{8}{27}$ 。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

解题步骤 3.3.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

解题步骤 3.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

解题步骤 3.3.2.2.2.5

从 $27$ 中减去 $16$ 。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $\frac{11}{27}$ 。

$\frac{11}{27}$

解题步骤 3.4

通过将 $\frac{2}{3}$ 代入 $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 中求得的点为 $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

解题步骤 5.2.2

将 $0.36$ 和 $2.4$ 相加。

$f'' (- 0.1) = 2.76$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $2.76$ 。

$2.76$

解题步骤 5.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $2.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(0, \frac{2}{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.\overline{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

解题步骤 6.2.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4$ 。

$- 4$

解题步骤 6.3

在 $0.\overline{3}$ ，二阶导数为 $- 4$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \frac{2}{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \frac{2}{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.7\overline{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.7\overline{6}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $36$ 乘以 $0.58\overline{7}$ 。

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0.7\overline{6}$ 。

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

解题步骤 7.2.2

从 $21.16$ 中减去 $18.4$ 。

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $2.76$ 。

$2.76$

解题步骤 7.3

在 $0.7\overline{6}$ 处，二阶导数为 $2.76$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

解题步骤 9

微积分学 示例

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