微积分学示例

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

解题步骤 2.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.2

将 $x^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

解题步骤 2.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.10

化简。

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解题步骤 2.1.10.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.1.10.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 3 x^{2} - 3$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.2.1

将 ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.2

根据加法法则， $- 3 x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.6

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2.7

将 $- 6 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

求微分。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

化简。

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解题步骤 2.2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.4.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1.6.1

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.6.2

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.9.1

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.10.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.4

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.1.5

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.2

将 $- 12 x^{3}$ 和 $12 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.1.12.3

将 $12 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.2

将 $- 6 x^{5}$ 和 $12 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.3.3

从 $- 6 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.4.1

从 $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.2.5.4.1.1

从 $6 x^{5}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.2

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.3

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.4

从 $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.1.5

从 $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 2.2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.4.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5

化简分母。

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解题步骤 2.2.5.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.5.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.6

约去 $x + 1$ 和 ${(x + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.6.1

从 $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.6.2.1

从 ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

解题步骤 2.2.5.6.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

解题步骤 2.2.5.6.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.7

约去 $x - 1$ 和 ${(x - 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.7.1

从 $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.7.2.1

从 ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

解题步骤 2.2.5.7.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

解题步骤 2.2.5.7.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ 。

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} = - 3$

解题步骤 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 3.3.3.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.4

最终解为使 $6 x (x^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

解题步骤 4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 4.1.2.3

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $6$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 0.6$ 乘以 ${(- 0.1)}^{2} + 3$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 0.1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $- 0.1$ 中减去 $1$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $0.9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.4

对 $- 1.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

解题步骤 6.2.3

化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $0.729$ 乘以 $- 1.331$ 。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

解题步骤 6.2.3.2

用 $- 1.806$ 除以 $- 0.970299$ 。

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $1.86128193$ 。

$1.86128193$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $1.86128193$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分子。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $6$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $0.6$ 乘以 ${0.1}^{2} + 3$ 。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0.1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $0.1$ 中减去 $1$ 。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $1.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

解题步骤 7.2.2.4

对 $- 0.9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

解题步骤 7.2.3

化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $1.331$ 乘以 $- 0.729$ 。

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

解题步骤 7.2.3.2

用 $1.806$ 除以 $- 0.970299$ 。

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $- 1.86128193$ 。

$- 1.86128193$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ ，二阶导数为 $- 1.86128193$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例