微积分学示例

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

解题步骤 1

将 $y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 2.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.1.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.1.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.1.10

化简。

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解题步骤 2.1.10.1

运用分配律。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2

合并项。

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解题步骤 2.1.10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.1.10.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.1.10.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.6

要将 $x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.7

组合 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.8

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.9

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.1.10.2.10

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.9

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- \frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

解题步骤 2.2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.2.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.3.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.3.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.2.3.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 2.2.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.13.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.13.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 2.2.3.15

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.16

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.3.17

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.2.3.18

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.2.3.19

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

解题步骤 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

$9$ 具有因式 $3$ 和 $3$ 。

$3 \cdot 3$

解题步骤 3.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.6

$9, 9, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3 \cdot 3$

解题步骤 3.2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$9$

解题步骤 3.2.8

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 3.2.9

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $9$ 乘以变量部分。

$9 x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 3.3

将 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $9 x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

约去公因数。

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.3

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

从 $x^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

约去公因数。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.3.3

重写表达式。

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.5

化简。

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.7

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

约去公因数。

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

重写表达式。

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.8

约去 $x^{\frac{5}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.8.1

约去公因数。

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

重写表达式。

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

乘以 $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$4 x + 8 = 0$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$4 x = - 8$

解题步骤 3.4.2

将 $4 x = - 8$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $4 x = - 8$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 8}{4}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $4$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

从 $- 2$ 中减去 $4$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 6$ 移到 ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.2

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ 中求得的点为 $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

要将 $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2

通过指数相加将 ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

移动 ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.2.2.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.1

计算指数。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $4$ 乘以 $- 2.1$ 。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.4.3

将 $- 8.4$ 和 $8$ 相加。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.2.6

最终答案为 $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 6.3

在 $- 2.1$ 处，二阶导数为 $0.01290581$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

要将 $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2

通过指数相加将 ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1

移动 ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.2.2.4

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.4.1

计算指数。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.4.2

将 $4$ 乘以 $- 1.9$ 。

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $- 7.6$ 和 $8$ 相加。

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.2.5

最终答案为 $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ 。

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 7.3

在 $- 1.9$ ，二阶导数为 $- 0.01524853$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 2, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ 。

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例