微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (9 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.4.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 + \frac{d}{d x} (- 5)$

解题步骤 1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.5.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9 + 0$

解题步骤 1.1.5.2

将 $4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 + \frac{d}{d x} (9)$

解题步骤 1.2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.5.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12 + 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $12 x^{2} - 48 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 12$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 48 x + 12$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 12$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{2} - 48 x + 12$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 48 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $12$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

解题步骤 2.2.4

从 $12 (x^{2}) + 12 (- 4 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

解题步骤 2.2.5

从 $12 (x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

将 $12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $12 (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 (x^{2} - 4 x + 1)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 (x^{2} - 4 x + 1)}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x^{2} - 4 x + 1$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x + 1 = \frac{0}{12}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.6.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 2.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.3

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.8.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.8.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

解题步骤 2.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 2.9

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $2 + \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $2 + \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = {(2 + \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (2 + \sqrt{3}) = 2^{4} + 4 \cdot (2^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (2^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (8 \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.5

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.6.5

计算指数。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.7

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.8

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.9

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.11

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.11.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.11.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.12

从根式下提出各项。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.13

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.2.2

约去公因数。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.2.3

重写表达式。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 3^{2} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.2.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 16 + 32 \sqrt{3} + 72 + 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $16$ 和 $72$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 88 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $88$ 和 $9$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 32 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 $32 \sqrt{3}$ 和 $24 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 {(2 + \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.6

使用二项式定理。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (2^{3} + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.7.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (2^{2} \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (4 \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (2 {\sqrt{3}}^{2}) + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.7.5.4.1

约去公因数。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5.4.2

重写表达式。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.5.5

计算指数。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.6

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.7

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{3^{3}}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{27}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.9

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.7.9.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{9 (3)}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.9.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.7.10

从根式下提出各项。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 \sqrt{3} + 18 + 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.8

将 $8$ 和 $18$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (26 + 12 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.9

将 $12 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 (26 + 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.10

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 8 \cdot 26 - 8 (15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.11

将 $- 8$ 乘以 $26$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 8 (15 \sqrt{3}) + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.12

将 $15$ 乘以 $- 8$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 {(2 + \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.13

将 ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 ((2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.14.1

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.14.2

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.14.3

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.15.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.1.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.15.3

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 (7 + 4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.16

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 6 \cdot 7 + 6 (4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.17

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 6 (4 \sqrt{3}) + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.18

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 9 (2 + \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.1.2.1.19

运用分配律。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 9 \cdot 2 + 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.1.2.1.20

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = 97 + 56 \sqrt{3} - 208 - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $97$ 中减去 $208$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 111 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 42 + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.1.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

将 $- 111$ 和 $42$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 69 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 18 + 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $- 69$ 和 $18$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 51 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.1.2.2.2.3

从 $- 51$ 中减去 $5$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 + 56 \sqrt{3} - 120 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.2.2.3

从 $56 \sqrt{3}$ 中减去 $120 \sqrt{3}$ 。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 64 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.2.2.4

将 $- 64 \sqrt{3}$ 和 $24 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 40 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.2.2.5

将 $- 40 \sqrt{3}$ 和 $9 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 + \sqrt{3}) = - 56 - 31 \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- 56 - 31 \sqrt{3}$ 。

$- 56 - 31 \sqrt{3}$

解题步骤 3.2

通过将 $2 + \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ 中求得的点为 $(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$

解题步骤 3.3

将 $2 - \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $2 - \sqrt{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = {(2 - \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

使用二项式定理。

$f (2 - \sqrt{3}) = 2^{4} + 4 \cdot (2^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (2^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 4 \cdot (8 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 + 32 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (2^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 6 \cdot (4 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.7

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.10.4.1

约去公因数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10.4.2

重写表达式。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.10.5

计算指数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 24 \cdot 3 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.11

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 4 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.12

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.13

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.15

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.17

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.17.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.17.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.18

从根式下提出各项。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.19

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 + 8 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.20

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.21

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.23

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.2.2

约去公因数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.2.3

重写表达式。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 3^{2} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.2.25

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 16 - 32 \sqrt{3} + 72 - 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $16$ 和 $72$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = 88 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 9 - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $88$ 和 $9$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 32 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.5

从 $- 32 \sqrt{3}$ 中减去 $24 \sqrt{3}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 {(2 - \sqrt{3})}^{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.6

使用二项式定理。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (2^{3} + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.7.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (2^{2} (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 3 \cdot (4 (- \sqrt{3})) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 + 12 (- \sqrt{3}) + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.4

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 3 \cdot (2 {(- \sqrt{3})}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.6

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.7.9.4.1

约去公因数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9.4.2

重写表达式。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.9.5

计算指数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.10

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 + {(- \sqrt{3})}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.11

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - {\sqrt{3}}^{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.13

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{3^{3}}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{27}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.15

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.7.15.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{9 (3)}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.15.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.16

从根式下提出各项。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - (3 \sqrt{3})) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.7.17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (8 - 12 \sqrt{3} + 18 - 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.8

将 $8$ 和 $18$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (26 - 12 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.9

从 $- 12 \sqrt{3}$ 中减去 $3 \sqrt{3}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 (26 - 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.10

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 8 \cdot 26 - 8 (- 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.11

将 $- 8$ 乘以 $26$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 - 8 (- 15 \sqrt{3}) + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.12

将 $- 15$ 乘以 $- 8$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 {(2 - \sqrt{3})}^{2} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.13

将 ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.14

使用 FOIL 方法展开 $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.14.1

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.14.2

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.14.3

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.2.1.15.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.15.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.4.1

约去公因数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.4.2

重写表达式。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.1.5.5

计算指数。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.15.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 (7 - 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.16

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 6 \cdot 7 + 6 (- 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.17

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 + 6 (- 4 \sqrt{3}) + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.18

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 9 (2 - \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.19

运用分配律。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 9 \cdot 2 + 9 (- \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.20

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 + 9 (- \sqrt{3}) - 5$

解题步骤 3.3.2.1.21

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = 97 - 56 \sqrt{3} - 208 + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.3.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $97$ 中减去 $208$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 111 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} + 42 - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.3.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.2.1

将 $- 111$ 和 $42$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 69 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 18 - 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.3.2.2.2.2

将 $- 69$ 和 $18$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 51 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3} - 5$

解题步骤 3.3.2.2.2.3

从 $- 51$ 中减去 $5$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 - 56 \sqrt{3} + 120 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $- 56 \sqrt{3}$ 和 $120 \sqrt{3}$ 相加。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 64 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.2.2.4

从 $64 \sqrt{3}$ 中减去 $24 \sqrt{3}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 40 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.2.2.5

从 $40 \sqrt{3}$ 中减去 $9 \sqrt{3}$ 。

$f (2 - \sqrt{3}) = - 56 + 31 \sqrt{3}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 56 + 31 \sqrt{3}$ 。

$- 56 + 31 \sqrt{3}$

解题步骤 3.4

通过将 $2 - \sqrt{3}$ 代入 $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 5$ 中求得的点为 $(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3}), (2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.16794919$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.16794919) = 12 {(0.16794919)}^{2} - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0.16794919$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.16794919) = 12 \cdot 0.02820693 - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.02820693$ 。

$f'' (0.16794919) = 0.33848317 - 48 \cdot 0.16794919 + 12$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $0.16794919$ 。

$f'' (0.16794919) = 0.33848317 - 8.06156123 + 12$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $0.33848317$ 中减去 $8.06156123$ 。

$f'' (0.16794919) = - 7.72307806 + 12$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 7.72307806$ 和 $12$ 相加。

$f'' (0.16794919) = 4.27692193$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $4.27692193$ 。

$4.27692193$

解题步骤 5.3

在 $0.16794919$ 处，二阶导数为 $4.27692193$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 2 - \sqrt{3})$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 12$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 12$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = 48 - 96 + 12$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $48$ 中减去 $96$ 。

$f'' (2) = - 48 + 12$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 48$ 和 $12$ 相加。

$f'' (2) = - 36$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 36$ 。

$- 36$

解题步骤 6.3

在 $2$ ，二阶导数为 $- 36$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3})$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3.8320508$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.8320508) = 12 {(3.8320508)}^{2} - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3.8320508$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3.8320508) = 12 \cdot 14.68461339 - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $14.68461339$ 。

$f'' (3.8320508) = 176.2153607 - 48 \cdot 3.8320508 + 12$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $3.8320508$ 。

$f'' (3.8320508) = 176.2153607 - 183.93843876 + 12$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $176.2153607$ 中减去 $183.93843876$ 。

$f'' (3.8320508) = - 7.72307806 + 12$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 7.72307806$ 和 $12$ 相加。

$f'' (3.8320508) = 4.27692193$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $4.27692193$ 。

$4.27692193$

解题步骤 7.3

在 $3.8320508$ 处，二阶导数为 $4.27692193$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2 + \sqrt{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3}), (2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$ .

$(2 - \sqrt{3}, - 56 + 31 \sqrt{3}), (2 + \sqrt{3}, - 56 - 31 \sqrt{3})$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例