微积分学示例

$f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x {(x + 4)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 4)}^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x + 4)}^{3})$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 4)}^{3}$ 。

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (4))) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2} \cdot 1) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 1.1.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.6

将 ${(x + 4)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2}) + {(x + 4)}^{3})$

解题步骤 1.1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.1

运用分配律。

$f' (x) = 2 (x (3 {(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 (x ({(x + 4)}^{2})) + 2 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3

从 $6 x {(x + 4)}^{2} + 2 {(x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2 {(x + 4)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.3.1

从 $6 x {(x + 4)}^{2}$ 中分解出因数 $2 {(x + 4)}^{2}$ 。

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{3}$

解题步骤 1.1.5.3.2

从 $2 {(x + 4)}^{3}$ 中分解出因数 $2 {(x + 4)}^{2}$ 。

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$

解题步骤 1.1.5.3.3

从 $2 {(x + 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x + 4)}^{2} (x + 4)$ 中分解出因数 $2 {(x + 4)}^{2}$ 。

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (3 x + x + 4)$

解题步骤 1.1.5.4

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = 2 {(x + 4)}^{2} (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.5

将 ${(x + 4)}^{2}$ 重写为 $(x + 4) (x + 4)$ 。

$f' (x) = 2 ((x + 4) (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.6.1

运用分配律。

$f' (x) = 2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.6.2

运用分配律。

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.6.3

运用分配律。

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.7

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.7.1.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.7.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.7.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f' (x) = 2 (x^{2} + 8 x + 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.8

运用分配律。

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.9.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.9.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = (2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$

解题步骤 1.1.5.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} + 16 x + 32) (4 x + 4)$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.11.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 x (4 x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x \cdot x) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.5.11.6.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 (x \cdot x)) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 16 \cdot (4 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.7

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 16 x \cdot 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.8

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.9

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot 4$

解题步骤 1.1.5.11.10

将 $32$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 x^{2} + 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

解题步骤 1.1.5.12

将 $8 x^{2}$ 和 $64 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 64 x + 128 x + 128$

解题步骤 1.1.5.13

将 $64 x$ 和 $128 x$ 相加。

$f' (x) = 8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $8 x^{3} + 72 x^{2} + 192 x + 128$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [128]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $72 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $72$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [192 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

因为 $192$ 对于 $x$ 是常数，所以 $192 x$ 对 $x$ 的导数是 $192 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $192$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (128)$

解题步骤 1.2.5

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

因为 $128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $128$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192 + 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $24 x^{2} + 144 x + 192$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 144 x + 192$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $24 x^{2} + 144 x + 192$ 。

$24 x^{2} + 144 x + 192$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$24 x^{2} + 144 x + 192 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $24 x^{2} + 144 x + 192$ 中分解出因数 $24$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $24 x^{2}$ 中分解出因数 $24$ 。

$24 (x^{2}) + 144 x + 192 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $144 x$ 中分解出因数 $24$ 。

$24 (x^{2}) + 24 (6 x) + 192 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $192$ 中分解出因数 $24$ 。

$24 x^{2} + 24 (6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $24 x^{2} + 24 (6 x)$ 中分解出因数 $24$ 。

$24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $24 (x^{2} + 6 x) + 24 \cdot 8$ 中分解出因数 $24$ 。

$24 (x^{2} + 6 x + 8) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 8$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $6$ 。

$2, 4$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$24 ((x + 2) (x + 4)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$24 (x + 2) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 $24 (x + 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, - 4$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $- 2$ 代入 $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 2 (- 2) {((- 2) + 4)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 4 {((- 2) + 4)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = - 4 \cdot 2^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = - 4 \cdot 8$

解题步骤 3.1.2.4

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f (- 2) = - 32$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $- 32$ 。

$- 32$

解题步骤 3.2

通过将 $- 2$ 代入 $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ 中求得的点为 $(- 2, - 32)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 2, - 32)$

解题步骤 3.3

将 $- 4$ 代入 $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = 2 (- 4) {((- 4) + 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- 4) = - 8 {((- 4) + 4)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f (- 4) = - 8 \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (- 4) = - 8 \cdot 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f (- 4) = 0$

解题步骤 3.3.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过将 $- 4$ 代入 $f (x) = 2 x {(x + 4)}^{3}$ 中求得的点为 $(- 4, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 4, 0)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(- 2, - 32), (- 4, 0)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 2) \cup (- 2, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 4)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4.1) = 24 {(- 4.1)}^{2} + 144 (- 4.1) + 192$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4.1) = 24 \cdot 16.81 + 144 (- 4.1) + 192$

解题步骤 5.2.1.2

将 $24$ 乘以 $16.81$ 。

$f'' (- 4.1) = 403.44 + 144 (- 4.1) + 192$

解题步骤 5.2.1.3

将 $144$ 乘以 $- 4.1$ 。

$f'' (- 4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $403.44$ 中减去 $590.4$ 。

$f'' (- 4.1) = - 186.96 + 192$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 186.96$ 和 $192$ 相加。

$f'' (- 4.1) = 5.04$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $5.04$ 。

$5.04$

解题步骤 5.3

在 $- 4.1$ 处，二阶导数为 $5.04$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 4)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 4, - 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 24 {(- 3)}^{2} + 144 (- 3) + 192$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 24 \cdot 9 + 144 (- 3) + 192$

解题步骤 6.2.1.2

将 $24$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- 3) = 216 + 144 (- 3) + 192$

解题步骤 6.2.1.3

将 $144$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 3) = 216 - 432 + 192$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

从 $216$ 中减去 $432$ 。

$f'' (- 3) = - 216 + 192$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 216$ 和 $192$ 相加。

$f'' (- 3) = - 24$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 24$ 。

$- 24$

解题步骤 6.3

在 $- 3$ ，二阶导数为 $- 24$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 4, - 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 4, - 2)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(- 2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 1.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.9) = 24 {(- 1.9)}^{2} + 144 (- 1.9) + 192$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

对 $- 1.9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.9) = 24 \cdot 3.61 + 144 (- 1.9) + 192$

解题步骤 7.2.1.2

将 $24$ 乘以 $3.61$ 。

$f'' (- 1.9) = 86.64 + 144 (- 1.9) + 192$

解题步骤 7.2.1.3

将 $144$ 乘以 $- 1.9$ 。

$f'' (- 1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

从 $86.64$ 中减去 $273.6$ 。

$f'' (- 1.9) = - 186.96 + 192$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 186.96$ 和 $192$ 相加。

$f'' (- 1.9) = 5.04$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $5.04$ 。

$5.04$

解题步骤 7.3

在 $- 1.9$ 处，二阶导数为 $5.04$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- 2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 2, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 4, 0), (- 2, - 32)$ .

$(- 4, 0), (- 2, - 32)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例