微积分学示例

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

解题步骤 1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 53)$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 53$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 53$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 3 x^{2} + 18 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 18$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 6 x + 18$ 。

$- 6 x + 18$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x + 18 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 6 x + 18 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $18$ 。

$- 6 x = - 18$

解题步骤 2.3

将 $- 6 x = - 18$ 中的每一项除以 $- 6$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $- 6 x = - 18$ 中的每一项都除以 $- 6$ 。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 18}{- 6}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.3.1

用 $- 18$ 除以 $- 6$ 。

$x = 3$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 53$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 53$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 27 + 81 - 53$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

将 $- 27$ 和 $81$ 相加。

$f (3) = 54 - 53$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $54$ 中减去 $53$ 。

$f (3) = 1$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 3.2

通过将 $3$ 代入 $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 中求得的点为 $(3, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(3, 1)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $- 6$ 乘以 $2.9$ 。

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

解题步骤 5.2.2

将 $- 17.4$ 和 $18$ 相加。

$f'' (2.9) = 0.6$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 5.3

在 $2.9$ 处，二阶导数为 $0.6$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 3)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 3)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $- 6$ 乘以 $3.1$ 。

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

解题步骤 6.2.2

将 $- 18.6$ 和 $18$ 相加。

$f'' (3.1) = - 0.6$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.6$ 。

$- 0.6$

解题步骤 6.3

在 $3.1$ ，二阶导数为 $- 0.6$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(3, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(3, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(3, 1)$ 。

$(3, 1)$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例