微积分学示例

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

解题步骤 1

将 $y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ 书写为一个函数。

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 51$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 51 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 51$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 180 x]$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 180$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 180 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.4.3

将 $- 180$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

解题步骤 2.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.5.1

因为 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

解题步骤 2.1.5.2

将 $12 x^{2} - 102 x - 180$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $12 x^{2} - 102 x - 180$ 。

$12 x^{2} - 102 x - 180$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从 $12 x^{2} - 102 x - 180$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从 $- 102 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

解题步骤 3.2.1.3

从 $- 180$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

解题步骤 3.2.1.4

从 $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

解题步骤 3.2.1.5

从 $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

解题步骤 3.2.2

因数。

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解题步骤 3.2.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ 并且它们的和为 $b = - 17$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

从 $- 17 x$ 中分解出因数 $- 17$ 。

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

把 $- 17$ 重写为 $3$ 加 $- 20$

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

运用分配律。

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

解题步骤 3.2.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

解题步骤 3.2.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 3$ 来因式分解多项式。

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

解题步骤 3.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

解题步骤 3.4

将 $2 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 3 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $2 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x = - 3$

解题步骤 3.4.2.2

将 $2 x = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $2 x = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.5

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 3.6

最终解为使 $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{3}{2}, 10$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{3}{2}, 10$ 。

$- \frac{3}{2}, 10$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $6.25$ 。

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 102$ 乘以 $- 2.5$ 。

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $75$ 和 $255$ 相加。

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

解题步骤 6.2.2.2

从 $330$ 中减去 $180$ 。

$f' (- 2.5) = 150$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $150$ 。

$150$

解题步骤 6.3

在 $x = - 2.5$ 处，导数为 $150$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 1.5, 10)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4.25$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4.25$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $18.0625$ 。

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 102$ 乘以 $4.25$ 。

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $216.75$ 中减去 $433.5$ 。

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 216.75$ 中减去 $180$ 。

$f' (4.25) = - 396.75$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 396.75$ 。

$- 396.75$

解题步骤 7.3

在 $x = 4.25$ 处，导数为 $- 396.75$ 。由于其值为负，函数在 $(- 1.5, 10)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{3}{2}, 10)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(10, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $11$ 替换变量 $x$ 。

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $121$ 。

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 102$ 乘以 $11$ 。

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

解题步骤 8.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $1452$ 中减去 $1122$ 。

$f' (11) = 330 - 180$

解题步骤 8.2.2.2

从 $330$ 中减去 $180$ 。

$f' (11) = 150$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $150$ 。

$150$

解题步骤 8.3

在 $x = 11$ 处，导数为 $150$ 。由于其值为正，函数在 $(10, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(10, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

递减于： $(- \frac{3}{2}, 10)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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