微积分学示例

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

解题步骤 1

将 $y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x - 4 \ln (3 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \ln (3 x - 4)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ 。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

解题步骤 2.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x - 4$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 4$ 。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

解题步骤 2.1.2.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

解题步骤 2.1.2.2.3

使用 $3 x - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

解题步骤 2.1.2.3

根据加法法则， $3 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

解题步骤 2.1.2.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

解题步骤 2.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

解题步骤 2.1.2.6

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

解题步骤 2.1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

解题步骤 2.1.2.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

解题步骤 2.1.2.9

组合 $\frac{1}{3 x - 4}$ 和 $3$ 。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.2.10

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3 x - 4}$ 。

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.2.11

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.2.12

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.3

合并项。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 4$ 中减去 $12$ 。

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ 。

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$3 x - 16 = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$3 x = 16$

解题步骤 3.3.2

将 $3 x = 16$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $3 x = 16$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{16}{3}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $\frac{16}{3}$ 。

$\frac{16}{3}$

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 x - 4 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 x = 4$

解题步骤 5.2.2

将 $3 x = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $3 x = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{3}$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

解题步骤 7

排除不在定义域中的区间。

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

解题步骤 8

将区间 $(1.3333334, \frac{16}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.33333345$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $3$ 乘以 $3.33333345$ 。

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

解题步骤 8.2.1.2

从 $10.00000035$ 中减去 $16$ 。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $3$ 乘以 $3.33333345$ 。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $10.00000035$ 中减去 $4$ 。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

解题步骤 8.2.3

用 $- 5.99999965$ 除以 $6.00000035$ 。

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $- 0.99999988$ 。

$- 0.99999988$

解题步骤 8.3

在 $x = 3.33333345$ 处，导数为 $- 0.99999988$ 。由于其值为负，函数在 $(1.3333334, \frac{16}{3})$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ 上递减

解题步骤 9

排除不在定义域中的区间。

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

解题步骤 10

将区间 $(\frac{16}{3}, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $6.3333335$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简分子。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $3$ 乘以 $6.3333335$ 。

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

解题步骤 10.2.1.2

从 $19.0000005$ 中减去 $16$ 。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

解题步骤 10.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $3$ 乘以 $6.3333335$ 。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

解题步骤 10.2.2.2

从 $19.0000005$ 中减去 $4$ 。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

解题步骤 10.2.3

用 $3.0000005$ 除以 $15.0000005$ 。

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

解题步骤 10.2.4

最终答案为 $0.20000002$ 。

$0.20000002$

解题步骤 10.3

在 $x = 6.3333335$ 处，导数为 $0.20000002$ 。由于其值为正，函数在 $(\frac{16}{3}, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\frac{16}{3}, \infty)$ 上递增

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(\frac{16}{3}, \infty)$

递减于： $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

解题步骤 12

微积分学 示例

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