微积分学示例

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

解题步骤 1

将 $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $3 x^{2} - 16 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 16 x - 12$ 。

$3 x^{2} - 16 x - 12$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

解题步骤 3.2

分组因式分解。

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解题步骤 3.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ 并且它们的和为 $b = - 16$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $- 16$ 。

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

把 $- 16$ 重写为 $2$ 加 $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

解题步骤 3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

解题步骤 3.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

解题步骤 3.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 2$ 来因式分解多项式。

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.4

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $3 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $3 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3 x = - 2$

解题步骤 3.4.2.2

将 $3 x = - 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $3 x = - 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 3.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.5

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{2}{3}, 6$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $- \frac{2}{3}, 6$ 。

$- \frac{2}{3}, 6$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.6666667$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.6666667$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2.777777\overline{8}$ 。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 1.6666667$ 。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $8.333333\overline{6}$ 和 $26.6666672$ 相加。

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

解题步骤 6.2.2.2

从 $35.00000086$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $23.00000086$ 。

$23.00000086$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1.6666667$ 处，导数为 $23.00000086$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(- 0.6666667, 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2.\overline{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2.\overline{6}$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $7.11111102$ 。

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $2.\overline{6}$ 。

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $21.33333306$ 中减去 $42.6666664$ 。

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 21.\overline{3}$ 中减去 $12$ 。

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 33.\overline{3}$ 。

$- 33.\overline{3}$

解题步骤 7.3

在 $x = 2.\overline{6}$ 处，导数为 $- 33.\overline{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 0.6666667, 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \frac{2}{3}, 6)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

解题步骤 8.2.1.2

将 $3$ 乘以 $49$ 。

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

解题步骤 8.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $147$ 中减去 $112$ 。

$f' (7) = 35 - 12$

解题步骤 8.2.2.2

从 $35$ 中减去 $12$ 。

$f' (7) = 23$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $23$ 。

$23$

解题步骤 8.3

在 $x = 7$ 处，导数为 $23$ 。由于其值为正，函数在 $(6, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(6, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$

递减于： $(- \frac{2}{3}, 6)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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