微积分学示例

$x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 4 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$

解题步骤 2.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 2.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 24 x$ 。

$12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 24 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $12 x^{2} - 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) - 24 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $12 x (x) + 12 x (- 2)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x - 2) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.6

最终解为使 $12 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 4.3

将 $2$ 代入 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3}$

解题步骤 4.3.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f (2) = 16 - 32$

解题步骤 4.3.2.2

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$f (2) = - 16$

解题步骤 4.3.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$- 16$

解题步骤 4.4

通过将 $2$ 代入 $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 中求得的点为 $(2, - 16)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(2, - 16)$

解题步骤 4.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (2, - 16)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

解题步骤 6.2.2

将 $0.12$ 和 $2.4$ 相加。

$f'' (- 0.1) = 2.52$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2.52$ 。

$2.52$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ 处，二阶导数为 $2.52$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 2)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (1) = 12 - 24$

解题步骤 7.2.2

从 $12$ 中减去 $24$ 。

$f'' (1) = - 12$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 7.3

在 $1$ ，二阶导数为 $- 12$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 2)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 2)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(2, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

解题步骤 8.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4.41$ 。

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $2.1$ 。

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

解题步骤 8.2.2

从 $52.92$ 中减去 $50.4$ 。

$f'' (2.1) = 2.52$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $2.52$ 。

$2.52$

解题步骤 8.3

在 $2.1$ 处，二阶导数为 $2.52$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(2, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(2, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(0, 0), (2, - 16)$ 。

$(0, 0), (2, - 16)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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