微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

解题步骤 1

从 $x + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{1} + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

解题步骤 1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + 3 x^{2}}}{4 x - 1}$

解题步骤 1.3

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 1 + x (3 x)}}{4 x - 1}$

解题步骤 1.4

从 $x \cdot 1 + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (1 + 3 x)}}{4 x - 1}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{\frac{4 x}{x} - \frac{1}{x}}$

解题步骤 3

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x^{2}}}}{4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 4

约去公因数。

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解题步骤 4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (1 + 3 x)}{x \cdot x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 5.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{3 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.1.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + lim_{x \to \infty} 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 9.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{0 + 3}{1}}}{4 - 0}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

用 $0 + 3$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{0 + 3}}{4 - 0}$

解题步骤 11.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{4 - 0}$

解题步骤 11.3

化简分母。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{4 + 0}$

解题步骤 11.3.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

小数形式：

$0.43301270 \dots$

微积分学 示例

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