微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

将 ${({(2 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.6.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.7.2

组合 ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.1.8

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.12

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} (2 + 0)$

解题步骤 1.1.13

合并分数。

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解题步骤 1.1.13.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

解题步骤 1.1.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$\frac{- 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.1.13.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.2.1.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

解题步骤 1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}}}$ 重写为 ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.2.1.2.2

将 ${({(2 x - 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.2.1.2.2.2

乘以 $\frac{4}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.2.2.2.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $- 1$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

解题步骤 1.2.1.2.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

解题步骤 1.2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ 且 $g (x) = 2 x - 5$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x - 5$ 。

$- \frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.2.3

使用 $2 x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.6.2

从 $- 4$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7

合并分数。

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解题步骤 1.2.7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3} {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.2

组合 ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$- \frac{2}{3} (- \frac{{(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.7.3.1

将 $4$ 移到 ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ 的左侧。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4 \cdot {(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 x - 5)}^{- \frac{7}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{3} (- \frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{2}{3}) (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.3.4

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

解题步骤 1.2.7.4

将 $\frac{4}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.2.7.5

乘。

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解题步骤 1.2.7.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.2.7.5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $2 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.2.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.2.11

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.2.12

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} (2 + 0)$

解题步骤 1.2.13

合并分数。

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解题步骤 1.2.13.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 2$

解题步骤 1.2.13.2

组合 $\frac{8}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ 和 $2$ 。

$\frac{8 \cdot 2}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 1.2.13.3

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$ 。

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{16}{9 {(2 x - 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$16 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $16 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

找不到使二阶导数等于 $0$ 的值。

不存在拐点

微积分学 示例

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